Математика

Из опыта работы учителя математики Раппопорт Д.А.

Тема: Обратная функция (второй урок)

Класс:10 класс

Цель: сформировать умения применять теоретические знания по теме при решении задач, рассмотреть основные типы задач на исследование функции на обратимость, на построение обратной функции.

Задачи:

создать условия для формирования умения применять теоретические знания по теме при решении задач, рассмотреть основные типы задач на исследование функции на обратимость, на построение обратной функции.

способствовать развитию критического и аналитического мышления, информационной компетентности учащихся, навыков исследовательской работы;

содействовать активизации познавательного интереса к изучению математики, самостоятельности, аккуратности при выполнении построения графиков.

Оборудование и материалы: интерактивная доска, мультимедийная презентация, оценочные листы

Ход урока:

Организационное начало урока

Учащиеся сидят по одному за партой.

На слайде эпиграф к уроку

«Ум заключается не только в знании, но в умении прилагать знания на деле»

Аристотель

Учитель озвучивает эпиграф и дает краткую информацию об Аристотеле.

Слайд 1

Этап целеполагания

Учитель:

- Давайте вспомним с какими понятиями, алгоритмами и теоремами Вы познакомились на прошлом уроке

Ожидаемые ответы учащихся:

- с определением обратимой функции;

- алгоритмом определения обратимости функции заданной формулой;

- теоремой об обратимости функции на промежутке;

- теоремой о прямой относительно которой графики взаимно-обратных функций симметричны;

- алгоритмом построения графика функций обратной к данной обратимой функции.

Учитель:

- Молодцы! А как Вы думаете, чем сегодня мы будем заниматься на уроке?

Ожидаемые ответы учащихся:

- Применять полученные знания при решении задач.

Учитель:

- Абсолютно верно! Также будем разбираться как связано понятие об обратной функции с нашей повседневной жизнью.

- Сегодня на уроке все получат отметки. Я раздаю оценочные листы (Приложение 1)

Этап актуализации знаний

Выполнение теста

Учащиеся выполняют тест. После осуществляется анализ полученных результатов и совместная коррекции при наличии неправильных ответов.

За правильный ответ – 1 балл. Максимум – 4 балла.

(Приложение 2)

Этап проверки домашнего задания

Учащиеся осуществляют взаимопроверку, сверяя решения товарища с эталоном на слайде.

Слайды 2-3

За правильное решение номера выставляется балл. Максимум 2 балла.

Этап исследования. Обратная функция в повседневной жизни

Учитель:

- Представим себе такую ситуацию. Вы пытаетесь вспомнить, когда произошло какое-то событие. Вы не можете вспомнить, когда именно, в каком году оно произошло. Однако помните, что в это время вам задали выучить теорему Пифагора. Эта информация оказывается полезной: теперь вы можете вспомнить, как была устроена программа по геометрии, когда вы проходили и учили эту теорему, а можете и заглянуть в учебник. Так, при помощи косвенного обстоятельства вы восстанавливаете дату интересующего вас события. Давайте подумаем, что произошло в рассказанной истории с точки зрения функции.

Какая вам была известна функция в данной ситуации?

Ожидаемые ответы учащихся:

– теорема в школьной программе в зависимости от времени обучения.

Учитель:

- Вы знаете значение этой функции?

Ожидаемые ответы учащихся:

-да мы можем помнить когда учили теорему или восстановить с помощью учебника (конспекта) в какой момент времени проходили данную тему.

Учитель:

- Правильно, Вы не знали, какое значение аргумента (момент времени) вам нужно, но знали значение функции (теорему), соответствующее этому моменту. Следовательно какое действие мы выполнили с точки зрения функции?

Ожидаемые ответы учащихся:

- по значению функции мы восстановили её аргумент.

Учитель:

- Какой мы можем сделать вывод?

Ожидаемые ответы учащихся:

- Такие действия мы производим в жизни часто, совершенно не думая о функциях.

Учитель:

- У любой ли функции существует обратная?

Ожидаемые ответы учащихся:

- Нет. Функция, которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, называется обратимой.

Учитель:

- Давайте рассмотрим данное определение на примере из повседневной жизни. Мы все знаем, что милиция часто ловит преступников по отпечаткам пальцев. Как Вы думаете, какую милиция находит функцию при данной работе?

Ожидаемые ответы учащихся:

- милиция находит функцию «отпечатки пальцев человека» - человеку ставятся в соответствие его отпечатки пальцев.

Учитель:

- Обнаружив на месте преступления чьи-то отпечатки пальцев, милиционеры обращаются к каталогу, находят человека, которому принадлежат эти отпечатки, и вот он, подозреваемый! Что произошло в данной ситуации с точки зрения функции?

Ожидаемые ответы учащихся:

-Можно сказать, что милиция использует обратную функцию к той, что построила, снимая отпечатки пальцев.

Учитель:

Представим себе другую ситуацию. Совершено преступление. К счастью, у этого преступления есть свидетели, которые видели преступника. Опрос свидетелей приводит к выводу, что у преступника было две руки. Поможет ли эта информация установить, кто совершил преступление?

Ожидаемые ответы учащихся:

- Вряд ли.

Учитель:

- В чём разница с ситуацией с отпечатками пальцев?

Ожидаемые ответы учащихся:

- Отпечатки пальцев вещь уникальная, у разных людей разные отпечатки.

Учитель:

- Какую функцию мы попытались использовать в ситуации со свидетелями?

Ожидаемые ответы учащихся:

-Функцию «количество рук у человека», которая ставит в соответствие человеку количество имеющихся у него рук.

Учитель:

- А по значению этой функции возможно определить, что за аргумент у неё был?

Ожидаемые ответы учащихся:

- По значению этой функции невозможно определить, что за аргумент у неё был, по улицам ходит очень много людей с двумя руками!

Учитель:

- Какой мы можем сделать вывод?

Ожидаемые ответы учащихся:

- для того, чтобы обратная функция существовала, нужно, чтобы каждое значение принималось только один раз. Зная отпечатки пальцев преступника, его поймать можно, зная только количество рук – нет.

Физкультминутка

Этап исследования. Построение обратной функции для квадратичной функции на определенном промежутке

Учитель:

Рассмотрим какую-нибудь квадратичную функцию, например

Существует ли у этой функции обратная функция на области определения?

Ожидаемые ответы учащихся:

Нет. Так как например при y = 9, существуют два значения аргумента х = 3 и х = -3, а это противоречит определению обратимой функции.

Слайд 4

Учитель:

- Давайте вспомним теорему об обратимости функции на промежутке

Ожидаемые ответы учащихся:

- Если функция является возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, то она обратима на этом промежутке

Учитель:

Допустим, что такой промежуток существует и для квадратичной функции. Рассмотрим следующую гипотезу:

Существует промежуток D(f) на котором квадратичная функция обратима.

Что Вы можете сказать о возрастании (убывании) функции

Ожидаемые ответы учащихся:

- Функция убывает при х принадлежащих промежутку [-∞;0] и возрастает при х принадлежащих промежутку [0; +∞]

Учитель:

Какой мы можем сделать вывод?

Ожидаемые ответы учащихся:

- На каждом из этих промежутков функция является обратимой

Слайд 5

Учитель:

- Следовательно наша гипотеза подтвердилась. А как определить данные промежутки для любой квадратичной функции?

Ожидаемые ответы учащихся:

- Находить абсциссу координаты вершины параболы

Учащиеся, которые активно отвечали на вопросы получают 1-2 балла.

Этап закрепления

Учитель:

Найти обратную функцию для функции на промежутке [0; +∞] и построить графики данных функций.

Учащиеся выполняют задание в тетради с пошаговым объяснением

Слайд 6

Самостоятельная работа

Найти на каком промежутке обратима. Найти на данном промежутке обратную функцию

Слайд 7

За правильное выполнение 2 балла

Рефлексия

Учитель:

- Ребята! Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока. Как вы думаете получилось ли нам на деле применить знания об обратной функции?

Ожидаемые ответы учащихся:

-да и не только при решении задач, но и в повседневной жизни мы также применяем понятия обратной и обратимой функции

Подведение итогов

Учащиеся подсчитывают общее число заработанных баллов в оценочном листе

Сообщение домашнего задания

№2.8

Придумать пример применения взаимно обратных функций в жизни

Приложение 1

Оценочный лист
Фамилия, имя
Актуализация знаний (макс 4)	Проверка д/з (макс 2)	Активная работа на уроке (макс 2)	Самостоятельная работа (макс 2)